Józef Straszewski urodził się 18 stycznia 1885 r. we Włocławku. W rodzinnym mieście ukończył pierwsze trzy klasy szkoły podstawowej, po czym uczył się prywatnie. Po skończeniu nauki w gimnazjum wstąpił do seminarium duchownego we Włocławku. 18 czerwca 1911 r. w rodzinnym mieście przyjął święcenia kapłańskie.
Swoją posługę duszpasterską rozpoczął od parafii pw. Nawiedzenia Najświętszej Maryi Panny w Rozprzy. Po pół roku skierowano go jako wikariusza do parafii pw. św. Wawrzyńca w Borownie. Ówczesny proboszcz tej parafii, ks. Michał Ziarniewicz, był już w podeszłym wieku. W 1917 r. został – po śmierci ks. Ziarniewicza – przeniesiony do parafii pw. św. Jakuba Apostoła w Krzepicach. Po kolejnych czterech latach został wikariuszem parafii katedralnej pw. Wniebowzięcia Najświętszej Maryi Panny we Włocławku, a także prefektem w tamtejszej Państwowej Szkole Handlowej. W każdej parafii, w której dane mu było posługiwać, szybko zdobywał zaufanie i szacunek powierzonej mu owczarni.